2. 负数开平方的难题
问题随之而来：既然平方总是正的，那么我们能不能找到一个数，它的平方是 -4 呢？
(+2)² = +4
(−2)² = +4
所以没有实数满足 x² = −4
没有任何实数能满足“平方等于负数”。这让数学家们陷入了困境。欧拉说：负数的平方根既不是正数，也不是负数，而是完全不同类别的一种“数”。这意味着，数学需要引入一个全新的概念。
3. 虚数的引入
为了突破这个困境，欧拉和其他数学家逐渐引入了虚数（imaginary numbers）的概念。
定义：√(−1) = i
√(−4) = 2i
√(−9) = 3i
虚数起初被称为“想象出来的数”，因为它们不能在数轴上找到。但随着数学的发展，人们发现虚数并非“虚幻”，而是与现实世界有紧密联系：它们在电路理论、波动研究、计算机图像处理，甚至量子力学中都扮演着核心角色。
我们必须消除任何可能的疑虑：关于这些数的用途（虚数），人们可能会认为它们毫无用处，只是毫无根据的推测对象。但这将是一个严重的错误。事实上，虚数的计算具有至关重要的意义，因为我们常常会遇到一些问题，无法立即判断是否存在真实的、可能的解。但当此类问题的解涉及虚数时，我们就可以确定，实数解是不存在的。
欧拉的伟大之处在于：
他先从简单的算术规律出发，解释了“负负得正”。
然后直面负数开平方的问题，承认实数体系内无法解决。
最终，勇敢地提出新的“虚数”概念，为后来的数学和科学打下了坚实的基础。
在欧拉看来，数学世界不该止步于直观和有限的范围，而应该不断扩展，让那些“看似不可能的数”进入体系，成为新的研究对象。
“负负得正”看似简单，却蕴含了数的运算规则的深刻逻辑；“负数开方”提出了实数无法解决的难题；而“虚数”的引入，则是人类数学思维的一次飞跃。欧拉通过严谨的推理，把这些问题层层展开，帮助我们看到了更广阔的数学世界。从负负得正，到虚数的出现，数学的发展正是一次次勇敢地面对“不可能”的过程。
后记：“那是最好的时代，那是最坏的时代；那是智慧的年代，那是愚昧的年代；那是信仰的时期，那是怀疑的时期；那是光明的季节，那是黑暗的季节；那是希望之春，那是失望之冬；我们拥有一切，我们一无所有；我们都直奔天堂，我们都直奔相反的方向——简言之，那段时期与当下如此相似，以至于一些最喧嚣的权威坚持要用最高级的方式来描述它，不论好坏。”
这段文字出自狄更斯的小说《双城记》，背景设定在 1775 年法国大革命时期。而本文要讲述的主角，则是另一位 1775 年身处圣彼得堡，研究数学与科学的伟大人物——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。特别是，他的一本书《代数学原理》（Elements of Algebra）。
这本书是一本初等代数学教材，从数的本质和 符号（+、- 等） 讲起，逐步讲解各种方程的解法。
欧拉（1707–1783）是史上著作最丰的数学家之一。
不幸的是，欧拉的许多著作并无英文译本，或者涉及较为冷僻的主题，又或者很难获取。不过有两个例外：《无穷解析引论》（Introductio in analysin infinitorum）与《微分学基础》（Institutiones calculi differentialis），但它们需要一定的高等数学背景才能真正领会。而《代数学原理》几乎任何人都能读懂、欣赏并享受。
从历史与数学的角度看，阅读原始文献（哪怕是译本）都非常重要。
那为什么要选欧拉？欧拉的数学写作清晰异常。拉普拉斯曾说：“读欧拉，读欧拉！他是我们所有人的老师！” 高斯也认为：“学习欧拉的著作是最好的数学训练，无法被任何其他东西取代。”
《代数学原理》写于欧拉晚年，那时他已经失明。传说他口述内容，由一位年轻仆人记录，边口授边教这位助手数学。返回搜狐，查看更多